Curso de electrónica. Aprenda tecnología digital V

SUMA HEXADECIMAL

Para desarrollar, estas sumas se aplican los mismos pasos que se aplica en las sumas  con números decimales

Al desarrollar los siguientes ejemplos, los resultados son los siguientes

5                                                                      8

+     8                                                                 +  B

D                                                                    1 3

LISTADO DE EJERCICIOS

Conversión de Base de los siguientes números

1.- Convertir un número Binario a Decimal

a)  1 1 0 1 1

b)  1 0 1 1

c)  1 0 1 1 1

d)  1 1 0 1 1 0

2.-   Convertir un número Decimal a Binario

a)  27

b)  11

c) 23

d) 54

3.-   Convertir un número  Hexadecimal  a Decimal

a) AB

b) 1 D

c) 4 F 1

d) 6 C 2

4.- Convertir un número Decimal a Hexadecimal

a) 171

b) 49

c) 1265

d) 1730

5.- Convertir un número Hexadecimal  a Binario

a) 1 C

b) 2 A 1

c) 5 D

d) 1 F

6.-  Convertir un número Binario a  Hexadecimal

a)  0 0 0 1 1 1 0 0

b)  1 0 1 0 1 0 0 0 0 1

c)  0 1 0 1 1 1 0 1

d)  0 1 1 1 1 1

B) Obtener los complementos a uno y a dos de los siguientes números Binarios

1 10 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0 1

C) Realizar las siguientes operaciones

1  1  0  1                                 1  1  0  1  0                                        1  0  1  0  1  1

+1  1  0  1                           +    0  1  1  1  0                                  +    1  1  0  1  1  0

1  1   0  1                              0  1  1  1                                         0  1  0  1  1

-   1  0  1  1                         -    1  1  0  1                                      -  1  0  1  0  0

6                                      1  C                              1  6

+ 4                                   + 1  2 .                        +   1  F

              

ALGEBRA DE BOOLE

Introducción

El álgebra de Boole, como el álgebra convencional, tiene en principio como objetivo definir una serie de símbolos para representar objetos o fenómenos  que encadenados convenientemente dan lugar a expresiones matemáticas más complejas denominadas funciones. Existen leyes que gobiernan tales funciones, así como relaciones entre ellas.
El álgebra de Boole  funciona como relaciones lógicas.
 En el álgebra de Boole las variables binarias pueden tomar solamente dos valores distintos: verdadero o falso, con 1 y  0 respectivamente.
Un diodo, transistor, lámpara, motor pueden estar en dos estados estables de funcionamiento.

         lámpara: encendida o apagada
         motor    :  gira  no gira
         diodo    .  conduce no conduce

Se define como una función lógica o Booleana a toda variable binaria cuyo valor depende  de una función algebraica formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos  mas (+)  y/o por (*) .

  El signo (+) : Se debe interpretar como la conjunción  “o”.
  El signo (*) :  Se debe interpretar como la  conjunción  “y”.
  Como ejemplo la función lógica puede ser :

                                                                                                         

Función  Igualdad: Es la mas elemental de todas ellas. Interviene exclusivamente una variable, la expresión matemáticamente es:

La función S1, se conoce como Suma de Productos, o función de Mini términos

La  función  S2, se conoce como Productos de Suma, o función de Maxiterminos

Para transformar una función de Maxiterminos en una función de Miniterminos Se aplica el siguiente procedimiento.

1º )  Se cambian todos los signos (+)  por (*) y  los  signos (*) por  (+)
2º )  Se niegan todas las variables por separado
3º)   Se operan con las negaciones de las variables, las doble negaciones se cancelan
4º)   Por último se niega toda la variable.

  Ejemplo: Transformar la función de Maxiterminos en una función de Mini términos

Con este procedimiento hemos transformado una función de Productos de Suma en una función de Suma de productos. Esta herramienta es de suma importancia cuando se desean  cambiar de lógica en los circuitos de Sistemas Digitales en forma práctica, con el motivo de tener  ojalá un solo tipo de compuertas en el diseño. Con esto se facilita el mantenimiento del circuito a reparar, con respecto de la cantidad de diferentes tipos de compuertas lógicas.

Para transformar una función de Mini términos a Maxiterminos, el procedimiento es muy similar.
Queda como ejemplo, tomar la función resultado del ejemplo anterior que ahora  ha quedado en Mini termino y obtener la función en Maxiterminos, el resultado correcto debe ser el ejemplo con el cual se empezó el ejercicio original.

LISTADO DE EJERCICIOS

1.- Construir por medio de lógica de contactos las siguientes funciones

. .      . .

S 1  =  a   *   b  +  a   *   b

..             . .

S 2 =   ( a  *  b  *   c )   +   (  a   *   c  )  *   d

. .             . .

S 3  = (  a  +  b  +  b  *  c  )  * d

. .                     . .

S 4  = ( a  *  b  +  c  *  b  ) *  ( a  *  c  )

. .                         . .     . .

S 5  = ( a  *  b   +   b  *  c   +  c  *  a  )

2.- Comprobar la tabla de verdad de las funciones: S 1   ;   S  4    ;   S 5

3.- Indique para que condición de   “ a    y    b “  , la salida es cero.

4.-  Si la salida de la función S 5  corresponde a un motor, para que condición de      “a   ,  b   y  c “, el motor no funciona.

5.-  Obtener la tabla de verdad de la función, S 1    y a partir de ella obtener las funciones       en :  Maxiterminos y  Minitérminos.

. .                                   . .                 . .               . .

6.-  La función Booleana   Y  =  A  *  B  *  C  +  A  *  B  *  C  +  A  *  B  *  C   ,  la cual esta expresada en mini términos , hacer la transformación  a una función      de Maxiterminos.

POSTULADOS  DEL  ALGEBRA  DE  BOOLE

1.- La suma lógica de una variable más un 1 lógico equivale a un 1 lógico
                                  a  +  1 = 1

2.- La suma lógica de una variable más un cero lógico equivale al valor de la variable
                                  a  +  0 = a

3.- El producto lógico de una variable por un 1 lógico es igual al valor de la variable
                                  a * 1 = a

4.- El producto lógico de una variable por un  0 lógico es igual a 0 lógico
                                  a * 0 = 0

5.- La suma lógica de dos variables iguales equivale al valor de dicha variable
                                  a  +  a  = a

6.- El producto lógico de dos variables iguales  equivale al valor de dicha variable
                                  a  *  a = a

7.- La suma lógica de una variable más la misma pero negada equivale a un 1 lógico
                                         . .
                                 a  +  a  = 1

8.- El producto lógico de una variable por la misma pero negada equivale a un 0 lógico
                                        . .
                                 a  *  a  = 0

9.- Si una variable lógica es negada dos veces ésta no se altera
                                . . 
                                . . 
                                a   =    a

10.- Si se niegan ambos miembros de una igualdad lógica, ésta no sufre ninguna varia       ción.

    

SIMPLIFICACIONES  DE  FUNCIONES

INTRODUCCION
En el diseño de circuitos digitales resulta de mayor interés simplificar ó minimizar las funciones obtenidas de las Tablas de Verdad ó directamente del enunciado de un problema. Cuando más simplificada es la función, menor será el número de componentes necesario para su implementación con componentes lógicos.Existen básicamente dos formas de realizar estas simplificaciones son:
a) Un tipo de simplificación en la cuál se utiliza el álgebra de  Boole en la cual se deben
aplicar de forma adecuada los Teoremas, Postulados y las Leyes de dicha álgebra.  Es un método lento y hay que ser muy hábil con dicha álgebra para obtener un resultado óptimo.
b) La otra forma de realizar la simplificación es utilizar un método gráfico, llamado      Karnaugh. Este  es un método sencillo  de aplicar, para simplificar funciones lógicas de 2, 3 y 4  variables.
Para  aplicar éste método se debe construir un cuadrilátero  que divide a  su  vez  en  2 n   cuadrados elementales , donde el exponente “ n “ , es el número de variables de la función .
En la siguiente figura  se indican  los gráficos para 2, 3  y 4  variables

Para aplicar éste método, la función Booleana, debe estar representada en mini términos (suma de productos). Estos mini términos se deben entrar al diagrama, en la ubicación correspondiente, no pueden existir dos mini términos en una misma posición.
Para realizar las simplificaciones dentro del diagrama se deben tomar ciertas consideraciones, reuniendo una cierta cantidad de mini términos de acuerdo a ciertas reglas.
1º Se pueden reunir  dos mini términos que sean adyacentes, en filas ó columnas.
2º Se pueden reunir 4 mini términos en una sola fila ó  en una sola columna ó en
una mezcla de filas y columnas.
3º Se pueden reunir 8 mini términos en dos filas ó en dos columnas

OBERVACIONES  

a) Una simplificación no válida es cuando cambian las dos variables al mismo tiempo.
b) Se debe respetar el orden de las variables dentro del gráfico con respecto del mini término de la función Booleana.
c) Se puede ocupar un mini término las veces que  uno quiera  en el proceso de simplificación.
d) Mientras más mini términos se reúnan de una sola vez más simplificada será la función reducida.

Procedimiento  para ingresar los mini términos en el gráfico

  Procedimiento de Simplificación

1º  Reunir:  m 4   y   m 1
2º  Reunir  :   m 4  y   m 2
3º  E l mini término  m 3 no se puede reducir ya que  no es adyacente con ningún     con  otro.

                Entre  m 1  y  m 4  se elimina aquella variable que cambie de estado lógico , entre las variables  b  y  c  , cambia la variable  c  del estado 0 a 1 lógico . Por lo tanto la  reducción de esta reunión es :  a b
             Entre  m 4  y  m 2  , aplicando mismo procedimiento , la  variable  que cambia de estado lógico es  la variable “ a”  de  0  a  1  lógico . Por lo tanto la reducción  de esta reunión es:        ..  ..
                                                                    b  c .
El mini término, m 3 como no se puede simplificar, sale del gráfico tal como entró .Por lo tanto la función reducida  es la serie de las reducciones parciales, quedando de la siguiente forma:                                  . . . .     . .  . .
                                    F (a , b , c )  =  a  b  +  b  c  +  a  b  c

                Esta simplificación es posible realizarla, aplicando el álgebra de  Boole.

                     . . . .            . . . .                     . . . . . .
F ( a ,b, c) =  a  b  c  +  a  b  c  +  a  b  c  +  a  b  c
                     . . . .           . .          . .  . .
                 =  a  b  ( c  +  c )  +  a  b  c  +  a  b  c
                     . . . .        . . . .
                 =  a  b  +  a  b  c  +  a  b  c
                     . .   . .         . .
                 =  b  ( a  +  a  c )  +  a  b  c
                      . .      . .                  . .     . .
                 =   b  ( ( a  +  a  )  *  ( a  +  c ) )  +  a  b  c
                      . .            . .     . .
                 =   b  ( 1 * ( a  +  c ) )  +  a  b  c
                      . .   . .      . .
                 =   b  ( a  +   c )  +  a  b  c
                      . . . .     . . . .
                 =   a  b  +  b  c  +  a  b  c

                Simplificar una función de 4  variables.

F( a , b , c , d )  =  a b c d  +  a b c d  +  a b c d  +  a b c d  +  a b c d  +  a b c d  +  a b c d
                             +  a b c d
                          =  m 1  +  m 2  +  m 3  +  m 4   +  m 5  +  m 6  +  m 7  +  m 8

Simplificación

1º  Reunión   (4   mini términos) : m 1 , m 3 , m 2  y  m 6 . Las variables  c d, las dos cambian de estado lógico, por lo tanto se eliminan. El resultado parcial de esta reunión es:  a  b

2º  Reunión ( 4 mini términos ): m 3 ,  m 2  ,  m 7  y  m 8 . De las  variables  c d ,
cambia  c , de 0  a  1  lógico, por lo tanto  se elimina. En las variables  a  b, cambia  b de  0  a  1  , por lo tanto se elimina. El resultado parcial de esta reunión es: a  d

3º Reunión ( 4 mini términos ) :  m 1 ,  m 3  ,  m 4  y  m 5 . En las variables  c  d cambia de estado lógico, la variable  d  de 0 a 1  por lo tanto ésta se cancela. En las variables  a b  , cambia de estado lógico la variable  a   de  0  a  1 , por lo tanto esta variable se cancela, el resultado  parcial es :  c  d

La  función reducida queda de la siguiente forma:

                                                                                         . . . .     . .         . . . .
                                                            F( a , b , c , d)  =   a   b  +  a  d  +  c  b